Правильный семиугольник

Правильный семиугольник — это правильный многоугольник с семью сторонами.

Семиугольник
Regular heptagon 1.svg
Правильный семиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 7
Символ Шлефли {7}
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png
Вид симметрии Диэдрическая группа (D7)
Площадь

.
Внутренний угол (градусы) ≈128.571°
Свойства выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный

Содержание

Свойства

 
Построение правильного семиугольника с помощью невсиса

Пусть   — сторона семиугольника,   — радиус описанной окружности,   — радиус вписанной окружности.

 ,

Периметр правильного семиугольника равен

 .

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

 ,
 ,
 .

Построение

 
Приближённое построение правильного семиугольника

Точное

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат PQRO со стороной a (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром O и радиусом OQ. Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) a и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок AB, который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

Приближённое

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки   на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу  . Отрезок   и даст искомое приближение.

 
Анимация приближённого построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.

Семиугольные звёзды

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

Применение

 
Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.